题目

题型：北京模拟题难度：来源：

（1）如图（1），△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图（2），四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA=PC+PB
（3）如图（3），六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明。

答案

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，
∵∠1=∠2=60°，∠3=∠4=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=∠3=60°，
又∵∠EBC=∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA=BE=PB+PC； （2）证明：过点B作BE⊥PB交PA于E，
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，
∴PE=
 又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE，
∴PA=AE+PE=PC+； （3）PA=PC+，
证明：在AP上截取AQ=PC，连接BQ，
∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP，
又∵∠APB=30°，
∴PQ=
∴PA=PQ+AQ=+PC。