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题目
题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD的4个顶点都在圆O上,将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度,其中0°<α≤90°,旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形(如图1)、直角梯形(如图2)、矩形(如图3).已知AB=6,AD=8.

(1)如图3,当α=______度时,旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形,此时该矩形的周长是______;
(2)如图2,当旋转后的矩形落在弓形内的部分是直角梯形时,设A2D2、B2C2分别与AD相交于点为E、F,求证:A2F=DF,AE=B2E;
(3)在旋转过程中,设旋转后的矩形落在弓形AD内的部分为三角形、直角梯形、矩形时所对应的周长分别是cl、c2、c3,圆O的半径为R,当c1+c2+c3=5R时,求c1的值;
(4)如图1,设旋转后A1B1、A1D1与AD分别相交于点M、N,当旋转到△A1MN正好是等腰三角形时,判断圆O的直径与△A1MN周长的大小关系,并说明理由.
答案
(1)当α=90°时,旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形,
此时该矩形的周长是6×2+(8-6)=14.

(2)①如图,连接A2D,
AA2
=
DD2

∴∠ADA2=∠DA2D2
∴A2F=DF.
②如图,连接AB2∵AD=B2C2
AD
=
B2C2

AD
-
AB2
=
B2C2
-
AB2

DB2
=
AC2

∴∠AB2C2=∠DAB2
∴AE=B2E.

(3)由(1)(2)得C2=8,C3=8
∵AB=6,AD=8,∠A=90°,
∴R=5,
当C1+C2+C3=5R时,C1=9;

(4)如图,设A1B1交AB于P,A1M=a,AM=b,
∵△A1MN正好是等腰三角形,∠A1=90°,
∴∠A1NM=∠A1MN=∠AMP=45°;
∴MN=


a2+a2
=


2
a,
∴AD=AM+MN+ND=b+


2
a+a=8…(一);
同(1)①可证AP=B1P;
∴A1B1=A1M+MP+PB1=a+


2
b+b=6…(二);
(二)-(一)得:


2
a-


2
b=2;
∴a-b=


2
,即A1M-AM=


2

∴△A1MN的周长=AD+


2
=8+


2

而⊙O的直径为10,
∴⊙O的直径与△A1MN的周长差为10-(8+


2
)=2-


2
>0;
∴⊙O的直径大于△A1MN的周长.
核心考点
试题【如图,矩形ABCD的4个顶点都在圆O上,将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度,其中0°<α≤90°,旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形(如图1)、】;主要考察你对圆与正多边形等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆,阴影部分的面积记为m,空白部分的面积记为n,则m与n的关系为______.
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一元钱的硬币的直径约为24mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过______mm(保留根号).
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如图,⊙O的外切正六边形与内接正六边形的边长之比是______.
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某公园的两个花圃,面积相等,形状分别为正三角形和正六边形,已知正三角形花圃的周长为50米,则正六边形花圃的周长(  )
A.大于50米B.等于50米C.小于50米D.无法确定
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如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76°,则∠CBD=______度.
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