题目

题型：不详难度：来源：

如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图3）．已知AB=6，AD=8．

（1）如图3，当α=______度时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，此时该矩形的周长是______；
（2）如图2，当旋转后的矩形落在弓形内的部分是直角梯形时，设A₂D₂、B₂C₂分别与AD相交于点为E、F，求证：A₂F=DF，AE=B₂E；
（3）在旋转过程中，设旋转后的矩形落在弓形AD内的部分为三角形、直角梯形、矩形时所对应的周长分别是c_l、c₂、c₃，圆O的半径为R，当c₁+c₂+c₃=5R时，求c₁的值；
（4）如图1，设旋转后A₁B₁、A₁D₁与AD分别相交于点M、N，当旋转到△A₁MN正好是等腰三角形时，判断圆O的直径与△A₁MN周长的大小关系，并说明理由．

答案

（1）当α=90°时，旋转后的矩形落在弓形内的部分呈矩形，
此时该矩形的周长是6×2+（8-6）=14．

（2）①如图，连接A₂D，
∵

AA2

=

DD2

，
∴∠ADA₂=∠DA₂D₂；
∴A₂F=DF．
②如图，连接AB₂∵AD=B₂C₂，
∴

AD

=

B2C2

；
∴

AD

-

AB2

=

B2C2

-

AB2

；
∴

DB2

=

AC2

；
∴∠AB₂C₂=∠DAB₂；
∴AE=B₂E．

（3）由（1）（2）得C₂=8，C₃=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
当C₁+C₂+C₃=5R时，C₁=9；

（4）如图，设A₁B₁交AB于P，A₁M=a，AM=b，
∵△A₁MN正好是等腰三角形，∠A₁=90°，
∴∠A₁NM=∠A₁MN=∠AMP=45°；
∴MN=

a2+a2

=

2

a，
∴AD=AM+MN+ND=b+

2

a+a=8…（一）；
同（1）①可证AP=B₁P；
∴A₁B₁=A₁M+MP+PB₁=a+

2

b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：

2

a-

2

b=2；
∴a-b=

2

，即A₁M-AM=

2

；
∴△A₁MN的周长=AD+

2

=8+

2

；
而⊙O的直径为10，
∴⊙O的直径与△A₁MN的周长差为10-（8+

2

）=2-

2

＞0；
∴⊙O的直径大于△A₁MN的周长．