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题目
题型:北京期末题难度:来源:
已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点, 过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E ,连结AC、BC、AE。
(1)求证:①∠DCB=∠CAB; 
②CD·CE=CB·CA;
(2)作CG⊥AB于点G。若(k>1),求的值(用含k的式子表示)。
答案
(1)证明:①如图1,
解法一:作直径CF,连结BF
∴ ∠CBF=90°,
则 ∠CAB=∠F =90°-∠1
∵ CD切⊙O于C,
∴ OC⊥CD ,
则 ∠BCD =90°-∠1
∴ ∠BCD =∠CAB

解法二:如图2,连结OC
∵ AB是直径,
∴ ∠ACB=90°
则∠2 =90°-∠OCB
∵ CD切⊙O于C,
∴ OC⊥CD
则 ∠BCD =90°-∠OCB
∴ ∠BCD =∠2
∵ OA=OC,
∴ ∠2 =∠CAB
∴ ∠BCD =∠CAB 
② ∵ EC∥AB ,∠BCD =∠3,
∴ ∠4 =∠3=∠BCD
∵ ∠CBD+∠ABC=180°,
∵ ∠AEC+∠ABC=180°,
∴ ∠CBD=∠AEC
∴ △ACE∽△DCB



(2)连结EB,交CG于点H,
∵ CG⊥AB于点G, ∠ACB=90°
∴ ∠3=∠BCG
∵ ∠3 =∠4

∴ ∠3=∠EBG
∴ ∠BCG=∠EBG
(k>1),
∴ 在Rt△HGB中,
在Rt△BCG中,
设HG =a,则BG= ka,CG= k2a。CH=CG-HG=(k2-1)a
∵ EC∥AB ,
∴ △ECH∽△BGH

解法二: 如图3,
作直径FC,连结FB、EF,则∠CEF=90°
∵CG⊥AB于点G,
在Rt△ACG中,
设CG =a,则AG= ka,,CF=AB=AG+BF=()a
∵ EC∥AB , ∠CEF=90°,
∴直径AB⊥EF
∴EF=2CG= a
EC=


解法三:如图4,
作EP⊥AB于点P,
在Rt△ACG中,
设CG =a,则AG= ka,
可证△AEP≌△BCG,
则有
EC=AG-AP=

核心考点
试题【已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点, 过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E ,连结AC、BC、AE。(1)求证:①∠DCB=∠C】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为
[     ]
A.5
B.7
C.8
D.10
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如图,⊙O的直径AB与AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,若⊙O的半径为3,则CD的长为
[     ]
A.6
B.
C.3
D.3
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如图,已知⊙O的半径为8 cm,点A为半径OB的延长线上一点,射线AC切⊙O于点C,弧BC的长为cm,求线段AB的长。
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已知:△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。
(1)如图,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况):
①____________________;
②____________________;
③____________________。
(2)如图,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线。
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如图,在平面直角坐标系中,⊙C与y轴相切,且C点坐标为(1,0),直线l过点A(-1,0),与⊙C相切于点D,求直线l的解析式。
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