题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。
（1） 求证：OD∥BE；
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。

答案

解：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，
∵∠ABE=∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE； （2）OF=CD，
理由如下：
连接OC，
∵BE、CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCE，
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，
由（1）得 ∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴OF=CD。