题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）。
（1）求b的值；
（2）求x₁·x₂的值；
（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论；
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。

答案

解：（1）b=1；（2）显然和是方程组的两组解，
解方程组消元得，
依据“根与系数关系”得=-4； （3）△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，
则F₁M₁·F₁N₁=-x₁·x₂=4，
而FF₁=2，所以F₁M₁·F₁N₁=F₁F²，
另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，
易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，
故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠FN₁F₁+∠F₁FN₁=90°，
所以△M₁FN₁是直角三角形；（4）存在，该直线为y=-1，
理由如下：
直线y=-1即为直线M₁N₁，如图，
设N点横坐标为m，则N点纵坐标为，计算知NN₁=，
NF=，
得NN₁=NF，
同理MM₁=MF，那么MN=MM₁+NN₁，
作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，
由中位线性质知PQ=（MM₁+NN₁）=MN，
即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径，
所以y=-1总与该圆相切。