题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系XOY中，一次函数y=x+3的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l₂过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0，点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值。

答案

解：（1）∵一次函数的图象直线l₁与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），AO=4，
∴x=0时，y=3，
∴B（0，3），BO=3，
∴AB=5，
∴A点坐标为（-4，0），AB的长为5；（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，
∴，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵点P在l₁上，
∴⊙Q在运动过程中保持与l₂相切，
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ，
∴AQ=AO+OQ=4+PQ 由△APQ∽△AOB得：
∴
∴PQ=6；
设l₂与⊙Q相切于E，连接QE，则
∵⊙Q与和都相切，
∴QE=PQ=6，
由△QEC∽△APQ∽△AOB，得：，
∵
∴
∴，
②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ，
∴AQ=AO-OQ=4-PQ
由△APQ∽△AOB得：
∴
∴PQ=；
设l₂与⊙Q相切于F，连接QF，
则∵⊙Q与l₁和l₂都相切，
∴QF=PQ=，
由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：，
∴
∴，
∴，
∴a的值为和。