题目

题型：福建省期末题难度：来源：

如图，边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，点F在BC延长线上，且∠CAF=∠CFA，AF交CD于点E，交CD于点P，作直线DF。
（1）求的值；
（2）证明：E是AF的中点；
（3）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由。

答案

解：（1）在正方形ABCD中，
∵∠ADP=∠FCP=90°，
又∵∠APD=∠FPC，
∴△ADP∽△FCP，
∴，
又∵∠CAF=∠CFA，且AD=AB=BC=1，
∴FC=AC=，
∴；
（2）连接CE，由已知可得，AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，                
∴CE⊥AF，
又∵∠CAF=∠CFA，
∴△ACF是等腰三角形，
∴AE=FE，
∴E是AF的中点；
（3）直线DF与?O相交，
∵在Rt△DCF中，CF＞DC，
∴∠CDF＞∠CFD，
而∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠CDF＞45°，
连接OD，则∠ODC=45°，
∴∠ODF=∠ODC+∠CDF＞45°+45°=90°，
∴点O到直线DF的距离小于圆的半径，
∴直线DF与⊙O相交。