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题目
题型:不详难度:来源:
已知:如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,点E是边BC上一点,过点E作FE⊥BC(垂足为E)交AB于点F,且EF=AF,以点E为圆心,EC长为半径作⊙E交BC于点D.
(1)求证:斜边AB是⊙E的切线;
(2)设若AB与⊙E相切的切点为G,AC=8,EF=5,连DA、DG,求S△ADG
答案
(1)过点E作EG⊥AB于点G,连接EA;
∵AF=EF,∠FEA+∠AEC=90°,∠AEC+∠EAC=90°,
∴∠FEA=∠FAE,
∴∠FAE=∠EAC,
∴AE为角平分线,
∴EG=EC,
∴斜边AB是⊙E的切线.

(2)连CG与AE相交于点H,由切线长定理得到:AC=AG=8,
由EF=AF=5;得FG=AG-AF=8-5=3,
在Rt△EFG中,根据勾股定理得:EG=CE=


EF2-FG2
=4,
∴AE=


AC2+CE2
=4


5
,又
1
2
AE•GH=
1
2
AG•GE,
∴GH=
AG•GE
AE
=
8


5
5
,GC=2GH=
16


5
5

∴DG=


(2CE)2-CG2
=
8


5
5

∴SRt△DGC=
1
2
DG•CG=
64
5

由Rt△DGC的面积为
64
5

∵CD是直径,
∴∠DGC=90°,
∵AG、AC是⊙E切线,
∴AE⊥CG,
∴∠EHC=90°=∠DGC,
∴DGAE,
∴S△AGD=S△DGE=
1
2
SRt△DGC=
32
5

核心考点
试题【已知:如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,点E是边BC上一点,过点E作FE⊥BC(垂足为E)交AB于点F,且EF=AF,以点E为圆心,EC长为半径作⊙E交BC】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,∠A=∠D=30°.
(1)判断DC是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)证明:△AOC≌△DBC.
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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,O是AB边上一点,⊙O与AC、BC都相切,若BC=3,AC=4,则⊙O的半径为(  )
A.1B.2C.
5
2
D.
12
7

题型:不详难度:| 查看答案
已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过点C的切线PC与AB的延长线交于P.PC=5,则⊙O的半径为(  )
A.
5


3
6
B.
5


3
3
C.5D.10
题型:不详难度:| 查看答案
如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦ED分别交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.
(1)若PC=PF,求证:AB⊥ED;
(2)点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2=DE•DF,为什么?
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为
CF
的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H.
(1)求证:AB是半圆O的切线;
(2)若AB=3,BC=4,求BE的长.
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