题目

题型：中考真题难度：来源：

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c，
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG。

答案

解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点
∴DE∥AB，DF∥AC，
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG
∴BG=AC+AG
∵BG=AB－AG
∴BG=；
（2）BG=，FG=BG－BF=
∴FG=DF，
∴∠FDG=∠FGD
又∵DE∥AB
∴∠EDG=∠FGD∠FDG=∠EDG
∴DG平分∠EDF；
（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，△DFG是等腰三角形，
∵△BDG与△DFG相似，
∴△BDG是等腰三角形，
∴∠B=∠BGD，
∴BD=DG，
则CD= BD=DG，
∴B、CG、三点共圆，
∴∠BGC=90°，
∴BG⊥CG。