题目

题型：江苏期末题难度：来源：

如图(1)，两半径为r的等圆⊙O₁和⊙O₂相交于M、N两点，且⊙O₂过点O₁，过点M作直线AB垂直于MN，分别交⊙O₁和⊙O₂于A，B两点，连结NA，NB。

(1)猜想点O₂与⊙O₁有什么位置关系，并给出证明；
(2)猜想△NAB的形状，并给出证明；
(3)如图(2)，若AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么(2)中的结论是否仍然成立，若成立请给出证明；若不成立，请说明理由。

答案

解：(1)在上；
证明：∵过点，
∴，
又∵的半径也是r，
∴点在上；
(2)△NAB是等边三角形；
证明：，
，
∴BN是的直径，AN是的直径，
即BN=AN=2r，在BN上，在AN上，
连结，则是△NAB的中位线，
∴，
∴AB=BN=AN，则△NAB是等边三角形；
(3)仍然成立；
证明：由(2)得在中所对的圆周角为60°，
在中所对的圆周角为60°，
∴点A、B在点M的两侧时，
在中所对的圆周角，
在中所对的圆周角，
∴是等边三角形。