题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:AB=AC;
(2)证明:点O是△ABC的外接圆的圆心;
(3)当AB=5,BC=6时,连接BE,若∠ABE=90°,求AE的长.
答案
(1)∵AE⊥EF, EF∥BC,∴AD⊥BC. (1分)
在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD.(或者:又∵BD=CD,∴AE是BC的中垂线.) (2分)
∴AB=AC. (3分)
(2)连BO,∵AD是BC的中垂线,∴BO=CO. (或者:证全等也可得到BO=CO.)
又AO=CO,∴AO=BO=CO. (4分)
∴点O是△ABC外接圆的圆心. (5分)
(3)解法1:
∵∠ABE=∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠ABD=∠AEB. 又∵∠BAD=∠EAB, ∴△ABD∽△AEB.
∴ (或者:由三角函数得到) (6分)
在Rt△ABD中,∵AB=5,BD=BC=3, ∴AD=4. (7分)
∴AE=. (8分)
解法2:
∵AO=BO, ∴∠ABO=∠BAO.
∵∠ABE=90°,∴∠ABO+∠OBE=∠BAO+∠AEB=90°.
∴∠OBE=∠OEB, ∴OB=OE. (6分)
在 Rt△ABD中,∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4.
设 OB=x, 则 OD=4-x,由32+(4-x)2=x2,解得x=. (7分)
∴AE=2OB=.(8分)
解法3:
设AO的延长线与⊙O交于点E1,则AE1是⊙O的直径, ∴∠ABE1=90°.
在Rt△ABE和Rt△ABE1中,∵∠BAE=∠BAE1,∠ABE=∠ABE1=90°,AB=AB,
∴△ABE≌△ABE1,∴AE=AE1. (6分) (同方法2) ∵BO=. (7分)
∴AE=2OB=. (8分)
解析
核心考点
试题【如图,D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,AO=CO,BC∥EF.(1)证明】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为s,你认为能否确定s的最大值?若能,请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由.
A.1.5㎝ | B.3㎝ | C.6㎝ | D.12㎝ |
A.150º | B.120º | C.90º | D.60º |
A.40° | B.60° | C.70° | D.80° |
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