题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是轴正半轴上一动点（OD＞1）,连结BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．
（1）试找出图1中的一个损矩形；
（2）试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点在同一个圆上；
（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；
（4）在图2中，过点M作MG⊥轴于点G，连结DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．

答案

(1)四边形ABMD为损矩形；（2）见解析；（3）（0，-1）；（4）(3，0)

解析

试题分析：（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；
（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；
（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，即可求得点N的坐标；
（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．
(1)四边形ABMD为损矩形；
(2)取BD中点H，连结MH，AH
∵四边形OABC，BDEF是正方形
∴△ABD，△BDM都是直角三角形
∴HA=BD   HM=BD
∴HA=HB=HM=HD=BD
∴损矩形ABMD一定有外接圆
(3)∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H
∴MAD =MBD    
∵四边形BDEF是正方形
∴MBD=45°
∴MAD=45°
∴OAN=45°
∵OA=1 
∴ON=1   
∴N点的坐标为（0，-1）
(4) 延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥轴于点Q
设MG=，则四边形APMQ为正方形
∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1
∵△MBP≌△MDQ
∴DQ=BP=CG=-2
∴MN²
ND²
MD²
∵四边形DMGN为损矩形
∴
∴ 
∴=2.5或=1(舍去)     
∴OD=3  
∴D点坐标为(3，0).
点评：解答本题的关键是理解损矩形的只有一组对角是直角的性质，