题目
题型:不详难度:来源:
数学课上,李老师给出以下命题,要求加以证明.
如图1,在△ABC中,M为BC的中点,且MA=
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同学们经过思考、讨论、交流,得到以下证明思路:
思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二 延长AM到D使DM=MA,连接DB,DC,利用矩形的知识…
思路三 以BC为直径作圆,利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程;
(2)结论应用
李老师要求同学们很好地理解(1)中命题的条件和结论,并直接运用(1)命题的结论完成以下两道题:
①如图2,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求证:直线BD是⊙O的切线;
②如图3,△ABC中,M为BC的中点,BD⊥AC于D,E在AB边上,且EM=DM,连接DE,CE,如果∠A=60°,请求出△ADE与△ABC面积的比值.
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答案
(2)①证明见解析
②
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解析
试题分析:(1)应用思路一:根据条件可以得出BM=CM=MA,由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B,∠2=∠C,由三角形内角和定理就可以求出结论。
(2)①连接OD,CD,由圆的性质就可以得出AO=OD=OC=a,再由条件就可以得出△ODC是等边三角形,由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°,从而得出∠ODB=90°而得出结论。
②运用(1)的结论可以得出∠ADB=∠ACE=90°,从而有△ADB∽△AEC,由相似的性质可以得出△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比平方,最后由锐角三角形函数值就可以求出结论。
解:(1)问题研究,应用思路一:
∵M为BC的中点,∴BM=CM=
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∵MA=
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∴∠1=∠B,∠2=∠C。
∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°,∴2∠1+2∠2=180°。
∴∠1+∠2=90°,即∠BAC=90°。
(2)①证明:连接OD,CD,
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∵∠DAB=30°,OA=a,
∴AO=OD=OC=a,∠BOD=2∠A=60°。
∴△ODC是等边三角形。
∴CD=OC=a,∠DCO=∠CDO=60°。
∵OB=2a,∴BC=a。∴BC=DC。∴∠B=∠BDC。
∴2∠BDC=60°。∴∠BDC=30°。∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°。
∵OD是⊙O的半径,∴直线BD是⊙O的切线。
②∵M为BC的中点,BD⊥AC于D,∴DM=
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∵EM=DM,∴EM=
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∵∠A=∠A,∴△ADB∽△AEC。
∴
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∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC。∴
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∵cos∠A=
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∴△ADE与△ABC面积的比值为
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核心考点
试题【(1)问题探究数学课上,李老师给出以下命题,要求加以证明.如图1,在△ABC中,M为BC的中点,且MA=BC,求证∠BAC=90°.同学们经过思考、讨论、交流,】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
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A.150° | B.75° | C.60° | D.15° |
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A.相离 | B.外切 | C.相交 | D.内切 |
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