题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图1,若点E在线段BC的延长线上,设AP=x,CE=y,
①求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时,求AP的长;
(2)设线段BE的中点为Q,射线PQ与⊙P相交于点I,若CI=AP,求AP的长.
答案
解析
试题分析:(1)①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA,由对顶角相等得∠PDA=∠CDE,则∠PAD=∠CDE,根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC,则∠ABC=∠DEC,BC:CE=DE:AB,且得到PB=PE.在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5,则PB=PE=5-x,DE=5-2x,然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式;
②设BE的中点为Q,连结PQ,由于PB=PE,根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE,易得PQ∥AC,则△BPQ∽△BAC,利用相似比得到PQ=-x+4(圆心距),BQ=-x+3(⊙Q的半径),根据两圆外切的性质得到-x+4=x+(-x+3),然后解方程即可;
(2)分类讨论:当点E在线段BC延长线上时,利用(1)②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4,CQ=BC-BQ=x,在Rt△CQI中,根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=(x)2+(-x+4)2=x2-x+16,再由CI=AP得到x2-x+16=x2,解得x1=,x2=4,由于0<x<,由此得到AP的长为;同理当点E在线段BC上时,IQ=PI-PQ=x-4,CQ=BC-BQ=x,在Rt△CQI中,CI2=CQ2+IQ2=x2-x+16,利用CI=AP得到x2-
x+16=x2,解得x1=,x2=4,由于<x<5,则AP的长为4,由此得到AP的长为或4.
试题解析:
解:(1)①∵AP=DP,∴∠PAD=∠PDA.
∵∠PDA=∠CDE,∴∠PAD=∠CDE.
∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ABC∽△DEC.
∴∠ABC=∠DEC,.
∴PB=PE.
Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5.
又AP=x,∴PB=PE=5-x,DE=5-2x,
∴
∴().
②设BE的中点为Q,联结PQ.
∵PB=PE,∴PQ⊥BE,又∵∠ABC=90°,∴PQ∥AC,
∴,∴,
∴,.
当以BE为直径的圆和⊙P外切时, .
解得,即AP的长为.
(2)如果点E在线段BC延长线上时,
由(1)②的结论可知,
.
在Rt△CQI中,
.
∵CI=AP,∴,
解得,(不合题意,舍去).
∴AP的长为.
同理,如果点E在线段BC上时,
,
.
在Rt△CQI中,.
∵CI=AP,
∴,解得(不合题意,舍去),.
∴AP的长为4.
综上所述,AP的长为或.
核心考点
试题【如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P是斜边AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),以点P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.25° | B.35° | C.50° | D.65° |
A. B. C. D.
(1)以点A为旋转中心,把△ABC顺时针旋转90°,画出旋转后的△;
(2)在(1)的条件下,求点C运动到点所经过的路径长.
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