题目

题型：不详难度：来源：

如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：（1）作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
（2）连接AB，AC，BC，△ABC即为所求的三角形.
乙：（1）以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点.
（2）连接AB，BC，CA.△ABC即为所求的三角形.
对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）
A.甲、乙均正确         B.甲、乙均错误
C.甲正确、乙错误       D.甲错误、乙正确

答案

A

解析

根据甲的思路，作出图形如图：

连接OB，
∵BC垂直平分OD，
∴E为OD的中点，且OD⊥BC，
∴OE＝DE＝OD，又OB＝OD，
在Rt△OBE中，OE＝OB，
∴∠OBE＝30°，又∠OEB＝90°，
∴∠BOE＝60°，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
又∠BOE为△AOB的外角，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°，
同理∠C＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，
∴△ABC为等边三角形，
故甲作法正确；
根据乙的思路，作图如图：

连接OB，BD，
∵OD＝BD，OD＝OB，
∴OD＝BD＝OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD＝∠BOD＝60°，
又BC垂直平分OD，∴OM＝DM，
∴BM为∠OBD的平分线，
∴∠OBM＝∠DBM＝30°，又OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，
同理∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∴△ABC为等边三角形，
故乙作法正确，
故选A.