题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=。
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）。

答案

解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N，
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，MB=HA=5﹣4=1（单位），1?5=5（cm）
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
所以=sinα=，
即得FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC﹣AB=11﹣3=8（单位）
由勾股定理FM²=FN²+MN²，即FM²=（FM）²+8²，
解得FM=10（单位），10×5=50（cm）
所以铁环钩的长度FM为50cm。