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题目
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如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.

(1)求证:∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=,求PE的长.
答案
(1)证明见解析(2)5
解析
(1)证明:∵PA是⊙O的切线,AB是直径,∴∠PAO=90°,∠C=90°。
∴∠PAC+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°。∴∠PAC=∠B。
又∵OP⊥AC,∴∠ADP=∠C=90°。∴△PAD∽△ABC,∴AP:AB=AD:BC,
∵在⊙O中,AD⊥OD,∴AD=CD。∴AP:AB=CD:BC。∴PA•BC=AB•CD;
(2)解:∵sinP=,且AP=10,∴。∴AD=6。∴AC=2AD=12。
在Rt△ADP中,根据勾股定理得:
又∵△PAD∽△ABC,∴AP:AB=PD:AC。∴AB==15。∴AO=
在Rt△APO中,根据勾股定理得:
∴PE=OP﹣OE= =5。
(1)由PA为圆O的切线,利用切线的性质得到AP垂直于AB,可得出∠PAO为直角,得到∠PAD与∠DAO互余,再由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出∠ACB为直角,得到∠DAO与∠B互余,根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△APD与△ABC相似,由相似得比例,再由OD垂直于AC,利用垂径定理得到AD=CD,等量代换可得证。
(2)在Rt△APD中,由PA及sinP的值求出AD的长,再利用勾股定理求出PD的长,从而确定出AC的长,由(1)两三角形相似得到的比例式,将各自的值代入求出AB的上,求出半径AO的长,在Rt△APO中,由AP及AO的长,利用勾股定理求出OP的长,用OP﹣OE即可求出PE的长。 
核心考点
试题【如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.(1)求证:∠PAC=∠B,且PA•BC=】;主要考察你对解三角形等知识点的理解。[详细]
举一反三
在△ABC中∠C=900,tanA=,则cosB=_______;
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计算:6tan2 30°-sin 60°-2sin 45°
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计算:
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如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6米,坝高BE=CF=20米, 斜坡AB的坡比为1∶2,斜坡CD的坡角∠D=45°,则坝底宽AD的长为           米。

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因为sin300=,sin2100= -,所以sin2100 =sin(1800+300)= -sin300;因为sin600=,sin2400= -,所以sin2400 =sin(1800+600)= -sin600由此猜想、推理知一般地当为锐角时,有sin(1800+)= -sin由此可知sin2250=               
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