题目

题型：不详难度：来源：

如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′=

5

13

，cos22°37′=

12

13

，tan22°37′=

5

12

）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC=

2

3

（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC=

2

3

计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．

答案

（1）∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴AB=

BC

sin∠BAC

=52km，AC=48km，
方案①

52

60

=

13

15

小时=52分钟，
②

48

90

+

20

60

=

13

15

小时=52分钟，
③

33

90

+

(48-33)2+202

60

=

11

30

+

25

60

=

47

60

小时=47分钟，
∴方案③较好；

（2）①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，
用时tM=

AM

90

+

BM

60

，汽车开到P放冲锋舟下水，用时tp=

AP

90

+

BP

60

，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=

2

3

，
∴PH=

2

3

Mp，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴tp=

AP

90

+

BP

60

=

AM

90

+

BH

60

，

∵BM＞BH∴t_M＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：t_M＞tp
方案②tM=

202+(48-x)2

60

+

x

90

，（当x=48-8

5

时，t_M最小，此时cos∠BPC=

2

3

），
方案③tp=

19 5 +48

90

小时．