题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值。

答案

解：（1）如图①，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴S=×12×（16-t）=96-6t（0≤t≤16）；
（2）由图①可知：CM=PD=2t，CQ=t，
若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，
由PQ²=BQ²，得t²+12²=（16-t）²，解得；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²，
由BP²=BQ²，得（16-2t）²+12²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，
∵Δ=-704<0，
∴3t²-32t+144=0无解，
∴BP≠BQ；
③若PB=PQ，由PB²=PQ²，得（16-2t）²+12²=t²+12²，
整理，得3t²-64t+256=0，
解得，，t₂=16（不合题意，舍去），
综合上面的讨论可知：当或时，
以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）如图②，由△OAP∽△OBQ得，
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t，
∴，
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t，在Rt△PEQ中，

∵∠BQP=∠QPE，
∴∠BQP的正切值为。