题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

答案

解：（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）EF²=4OD×OP．
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD≌△OPA，
∴=，即OA²=OD×OP，
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD·OP．
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3（三角形中位线定理），
设AD=x，
∵tan∠F=，
∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）²=x²+3²，
解之得，x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x﹣3=5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB==．
∴OA²=OD×OP，
∴3（PE+5）=25，
∴PE=．