题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N。
（1） 求证：△ODM∽△MCN；
（2） 设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3） 在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样的结论？

答案

解：（1）证明：∵MN为切线，
∴OM⊥MN，
∴∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，
∴Rt△DOM∽Rt△CMN；
（2）设OA=y，Rt△ODM中，DM²=OM²-DO²=OA²-DO²，即x²=y²-（8-y）²，解得OA=y=4+；
（3）由（1）知△DOM∽△CMN，相似比为，
故p=，故p为定值16。