题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点，N为AB边上一点，且AN=3NB，连AM、MN分别交BD于E、F（如图①）
（1）在图②中画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在图①、②中量得DE、EF、FB的长度，并填入下表，由下表可猜想DE、EF、FB间的大小关系是_____；

（2）上述（1）中的猜想DE、EF、FB间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改成梯形（其中AB∥CD），且AB=2CD，其它条件不变，此时（1）中猜想DE、EF、FB的关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，求出DE∶EF∶FB的值。

答案

解：（1）画图“略”；填表“略”；猜想：DE=EF=FB；　　　
（2）成立；
理由：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MED，
∴BE∶DE=AB∶DM=2∶1，
即BE=2DE，
又∵AB=DC=4NB，
∴DN=2NB，
∵AB∥DC，
∴△DMF∽△BNF，
∴DF∶FB=DN∶NB=2∶1即DF=2FB，
∴DE=EF=FB；
（3）不成立；
∵AB=2CD，CD=2DM，
∴AB=4DM，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE∶DE= AB∶DM=4∶1即BE=4DE，
∵AB=4NB，
∴NB=DM，
∵AB∥CD，
∴△BNF∽△DMF，
∴DF∶FB=DM∶NB=1即DF=FB，
则DE∶EF∶FB=2∶3∶5。