题目

题型：中考真题难度：来源：

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A （11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P 不与点B、C重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP，设BP=t。
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30 °时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。

答案

解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90 °，OB=6 ，
在Rt △OBP 中，由∠BOP=30 °，BP=t ，得OP=2t，
∵OP²=OB²+BP²，
即（2t ）²=6²+t²，
解得：t₁=，t₂=-（舍去），
∴点P 的坐标为（，6）；
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP ，
∴∠OPB ′= ∠OPB ，∠QPC ′= ∠QPC，
∵∠OPB ′+ ∠OPB+ ∠QPC ′+ ∠QPC=180 °，
∴∠OPB+ ∠QPC=90 °，
∵∠BOP+ ∠OPB=90 °，
∴∠BOP= ∠CPQ，
又∵∠OBP= ∠C=90 °，
∴△OBP ∽△PCQ，
∴，
由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11 ，AC=6 ，则PC=11-t ，CQ=6-m，
∴，
∴（0 ＜t ＜11 ）．
（Ⅲ）过点P 作PE ⊥OA 于E ，
∴∠PEA= ∠QAC ′=90 °，
∴∠PC ′E+ ∠EPC ′=90 °，
∵∠PC ′E+ ∠QC ′A=90 °，
∴∠EPC ′= ∠QC ′A ，
∴△PC ′E ∽△C ′QA，
∴PE AC ′ =PC ′ C ′Q，
∵PC ′=PC=11-t ，PE=OB=6 ，AQ=m ，C ′Q=CQ=6-m ，
∴AC ′=，
∴，
∵m=，
解得：t₁=，t₂=，
点P 的坐标为（，6 ）或（，6）。