题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，
∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系
（如图2），在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD²+CE²=DE²；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

答案

解：ABE∽DAE，ABE∽DCA 
     ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
     ∴∠BAE=∠CDA
     又∠B=∠C=45°
     ∴ABE∽DCA 
（2）∵ABE∽DCA
    ∴， 由依题意可知 CA=BA=1
    ∴ m=
     自变量n的取值范围为 ；
（3） 由BD=CE可得BE=CD，即m=n
    ∵m= ∴m=n=1，
    ∵OB=OC= ， BC=
    ，D（-1，0）
    ∴BD=OB=OD= -1=CE ，DE=2OD=2- ，
    ∴BD²+CE²=2BD²=6-4
    
    ∴
（4）成立
证明：如图，将ACE绕点A顺时针旋转90°至ABH的位置，
    则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°
    连接HD，在EAD和HAD中
    ∵AE=AH， ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD， AD=AD
    ∴EAD≌HAD
    ∴DH=DE
 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
     ∴BD²+HB²=DH² 即BD²+CE²=DE²