题目
题型:河北省期末题难度:来源:
(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P,当点M在BC边上如图位置时,请你在AB边上找到一点H,使得AH=MC,连接HM,进而判断AM与PM的大小关系,并说明理由;
(3)若BM=1,则梯形ABCN的面积为( );设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN的面积最大,并求出最大面积;
(4)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时BM的值.
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答案
解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∵∠AMB+∠BAM=90°,又∴AM⊥MN,
∴∠AMN=90°,∴∠AMB+∠NMC=90°,
∴∠BAM=∠NMC,∴Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)AM=PM.证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°,∴AH=MC,
∵BH=BM,
∴∠BMH=∠BHM=45°,
∠AHM=135°,∵AM⊥MN,∴∠2+∠3+∠BMH=90°,
∵∠2+∠3=45°,∴∠1+∠2=∠BHM=45°,∴∠1=∠3,
∵CP是正方形外角平分线,∴∠PCN=45°,
∴∠PCM=90°+45°=135°,
∴∠AHM=∠MCP,在△AHM和△MCP中,
∵,
∴△AHM∽△MCP(ASA),
∴AM=PM;
(3)解:∵正方形ABCD边长为4,BM=1,
∴CM=4-1=3,
∵Rt△ABM∽Rt△MCN,∴,即
,
∴CN=,
∴S梯形ABCN=(AB+CN)BC=
×(4+
)×4=
;
∴正方形ABCD边长为4,BM=x,∴CM=4﹣x,
∴Rt△ABM∽Rt△MCN,∴,即
,∴CN=
,
∴y=S梯形ABCN=(AB+CN)BC=
×(4+
)×4=﹣
x2+2x+8=﹣
(x﹣2)2+10,
∵当x=2时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为10;
(4)解:∵∠B=∠AMN=90°,
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必须有,即
,
∵Rt△ABM∽Rt△MCN,
∴,∴BM=MC,
∴当点M运动到BC的中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN,此时BM=2
.
核心考点
试题【如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)若MN】;主要考察你对相似三角形的判定等知识点的理解。[详细]
举一反三
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B.2
C.3
D.4
(1)写出图中两对相似三角形;
(2)连接FG,如果α=45°,AB=
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(1)如图1,求证△ABF∽△COE;
(2)如图2,点O是AC边的中点,AB=1,AC=2.①求证BF=OE;②求OE的长.
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