题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90 °．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？
（2）求证：△ABG∽△BFE；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c   
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；    
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

答案

解：（1）不可以。理由如下：
根据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90 °，
∴Rt△EGD中，GE＜ED。
∴AE＜ED。
∴点E不可以是AD的中点。
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵由折叠知△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG。
∴∠EBF=∠BEF。
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形。
∵∠ABG+∠GBF=90 °，∠GBF+∠EFB=90 °，
∴∠ABG=∠EFB。
在等腰△ABG和△FEB中，
∠BAG=（180 °﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180 °﹣∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE。
∴△ABG∽△BFE。
（3）①∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC。    
∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，
∴∠DAB=∠BDC=90°。    
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC。
∴△ABD∽△DCB。
∴。
∵AD=a，AB=b，BC=c，
∴BD=
∴，
即a²+b²=ac。
②由①和b=2得关于a的一元二次方程a²﹣ac+4=0，
由题意，a的值是唯一的，即方程有两相等的实数根，
∴△=0，即c²﹣16=0。
∵c＞0，
∴c=4。
∴由a²﹣4a+4=0，得a=2。
由①△ABD∽△DCB和a= b=2，
得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，
∴∠C=45 °。