题目

题型：不详难度：来源：

（12分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM.

（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA:PB:PC=1::，试判断△PMC的形状，并说明理由.

答案

解：（１）AP=CM.
证明:因为△ABC是等边三角形,所以AB="BC," ∠ABC＝60°,而△PBM也是等边三角形,所以PB="MB," ∠PBM＝60°,则∠ABP＝∠MBC.所以△ABP≌△CBM．所以AP＝CM.
(2) △PMC是直角三角形.
因为 PA:PB:PC=1::,设PA="k," PB=k, PC=k.因为△PBM是等边三角形,
所以PM= PB=k.又因为由(1)知AP=CM,所以CM="PA=k." 则,, ,,且,即.所以△PMC是直角三角形.且∠PMC＝90°.

解析

略