题目

题型：不详难度：来源：

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CD．连结DE，DF，EF． 在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形；
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是_____________．

答案

①④⑤

解析

解；连接CF．

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴①正确；
当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，
因此②错误；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴④是正确的；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，
∴DE=DF=4，
∴③错误；
当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小，此时，
S_△CDE=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，
∴⑤正确．综上所述正确的有①④⑤．