题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°—．
（1）用含的代数式表示∠APC，得∠APC =______；
（2）求证：∠BAP=∠PCB；
（3）求∠PBC的度数．

答案

（1）∠APC．    
（2）证明：如图5． 

∵CA=CP，
∴∠1=∠2=．
∴∠3=∠BAC－∠1==．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==．
∴∠4=∠ACB－∠5==．
∴∠3=∠4．
即∠BAP=∠PCB．                       
（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）．

∵PC=AC，AB=AC，
∴PC=AB．
在△ABP和△CPM中，
           AB=CP，
∠3=∠4，
AP=CM，
∴△ABP≌△CPM．
∴∠6=∠7， BP=PM．
∴∠8=∠9．
∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，
∴∠ABC－∠8=∠9－∠4．
即（）－∠8=∠9－（）．
∴ ∠8＋∠9=．
∴2∠8=．
∴∠8=．
即∠PBC=．                         
解法二：作点P关于BC的对称点N，
连接PN、AN、BN和CN（如图7）． 

则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称．
∴△PBC≌△NBC．
∴BP=BN，CP=CN，
∠4=∠6=，∠7=∠8．
∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6
==．
∵PC=AC，
∴AC=NC．
∴△CAN为等边三角形．
∴AN=AC，∠NAC=．
∵AB=AC，
∴AN=AB．
∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（）－=，
∴∠PAN=∠3．
在△ABP和△ANP中，
           AB=AN，
∠3=∠PAN，
AP=AP，
∴△ABP≌△ANP．
∴PB=PN．
∴△PBN为等边三角形．
∴∠PBN=．
∴∠7=∠PBN =．
即∠PBC=．             

解析

(1)由PC=AC，根据等腰三角形的特征即可表示出∠APC；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和可分别用含代数式表示出∠BAP与∠PCB即可得到结果；
（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）
先得到△ABP≌△CPM，再根据全等三角形的对应边、对应角相等推出含的方程即可求出∠PBC。
解法二：作点P关于BC的对称点N，连接PN、AN、BN和CN（如图7）．
根据对称性可得△PBC≌△NBC，再根据全等三角形的对应边相等即可推出△CAN为等边三角形，从而得到△ABP≌△ANP，推出△PBN为等边三角形，即可求出∠PBC。