题目

题型：不详难度：来源：

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

答案

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，…………………………………………………………………………3分
∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分

（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时． …………………………………………3分
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时． …………………………………………2分
当时，最大值．
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是．……………………………………………………………………1分
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分
②如图2，当时，
若DE=DH，=，；  …………………………………………1分
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； ………………………1分
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，．  ……………………………………1分
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相应给分）

解析

（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）利用BP在不同位置的不同取值，得到y关于x的函数关系式，利用二次函数的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．