题目

题型：不详难度：来源：

如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。

小题1:请直接写出PN的长           ；（用含的代数式表示）
小题2:若0秒≤≤3秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，并求S的最大值。
小题3:若0秒≤≤3秒，△MPA能否与△PCN相似？若能，试求出相似时的对应值；若不能，试说明理由。

答案

小题1:；
小题2:延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，
则。
依题意，可得：
∵0≤≤1.5
∴当时，S有最大值，S_最大值＝。…………………4分
小题3:能相似
共有两种情况，以下分类说明：
①  …………………2分
②3或…………………2分
综上所述，当，或，或时，△MPA与△NPA相似

解析

（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底边AM的长为3-x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．
（3）本题要分三种情况：
①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．
②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．