题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求证:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.
答案
又∵∠ABQ=∠ADP=90°,∴△ADP∽△ABQ。
(2)∵△ADP∽△ABQ,∴
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∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x.
如图,过点M作MN⊥QC于点N,
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∵MN⊥QC,CD⊥QC,点M为PQ中点,
∴点N为QC中点,MN为中位线,
∴
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在Rt△BMN中,由勾股定理得
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∴y与x的函数关系式为:
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∵
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∴当x=8即DP=8时,y取得最小值为45,BM的最小值为
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(3)设PQ与AB交于点E。
如图,点M落在矩形ABCD外部,须满足的条件是BE>MN。
∵△ADP∽△ABQ,∴
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∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP。
∴
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∵MN为中位线,∴
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∵BE>MN,∴
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∴当点M落在矩形ABCD外部时,a的取值范围为:
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解析
(2)如图所示,过点M作MN⊥QC于点N,由此构造直角三角形BMN,利用勾股定理求出y与x的函数关系式,这是一个二次函数,求出其最小值。
(3)如图所示,当点M落在矩形ABCD外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出BE与MN的表达式,列不等式求解,即可求出a的取值范围。
核心考点
试题【如图,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ中点.(1)求证:△ADP∽△ABQ;(】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)若△CEF与△ABC相似.
①当AC=BC=2时,AD的长为 ;
②当AC=3,BC=4时,AD的长为 ;
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
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A.1:3 | B.2:3 | C.1:4 | D.2:5 |
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A.5cm | B.6cm | C.7cm | D.8cm |
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