题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②，图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm，图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐_________；（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由，请你分别完成上述三个问题的解答过程。

答案

解：（1）变小；

（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4
连接FC，设FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=
∴AD=AC-DC=12-
∴AD=（12-）cm时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，
在Rt△FDC中，FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，
（I）当FC为斜边时，
由AD²+BC²=FC²得，
x²+6²=（12-x）²+16，
x=；
（II）当AD为斜边时，
由FC²+BC²=AD²得，
（12-x）²+16+6²=x²，
x=＞8（不合题意舍去）；
（III）当BC为斜边时，
由AD²+FC²=BC²得，
x²+（12-x）²+16=36，x²-12x+62=0，

∴方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：
不存在这样的位置，使得∠FCD=15°理由如下：
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线，交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=，PC=PF=2FD=8
∴PC+PD=8+＞12
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°。