题目

题型：不详难度：来源：

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
（1）如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点（如图1），求证：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上任意一点，（中点除外），过P作PE∥AB交AC于E，PF∥DC交BD于F（如图2），那么AB=PE+PF还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如果P为BC的延长线上任意点，（2）中的其它条件不变（如图3），请你直接写出AB、PE、PF三条线段的确定的数量关系．（不需要证明）

答案

（1）证明：∵P、F分别为BC、BD的中点，
∴PF=

1

2

CD，（1分）
同理：PE=

1

2

AB，
又∵AB=CD，
∴PF=

1

2

AB，（2分）
∴AB=PE+PF；（3分）

（2）答：成立，AB=PE+PF．（4分）
∵AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB且BC为公共边，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠FBP，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠FBP，
∵FP∥CD，
∴∠FPB=∠DCB．
∴∠FPB=∠AGE．
∴△AEG≌△BPF（ASA）．
∴AB=PG=PE+PF．（8分）

（3）答：AB=PF-PE．（10分）