题目

题型：江苏期末题难度：来源：

如图（1），在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF，AF与DE交于点G。

（1）试探索线段AF、DE的数量和位置关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连结EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图（2）中补全图形，并说明理由。

答案

解：（1）AF=DE且AF⊥DE
在△ABF和△DAE中，∵AB=DA，∠B=∠DAE，BF=AE
∴△ABF≌△DAE
∴AF=DE，
∠BAF=∠ADE
又∵∠BAF+∠DAG=90°
∴∠ADE+∠DAG=90°
∴∠AGD=90°，
即AF⊥DE。（2）四边形HIJK是正方形
∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点
∴HK∥DE且HK=，IJ∥DE且IJ=
∴HK∥IJ且HK=IJ
∴HIJK是平行四边形
同理可证HI∥KJ且HI=KJ=
又∵AF=DE
∴HI=IJ
∴HIJK是菱形
又∵AF⊥DE
∴HI⊥IJ
∴四边形HIJK是正方形。
如右图：