题目

题型：山东省期末题难度：来源：

如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求证：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．（直接写出结果，不必说明理由）

答案

（1）证明：
证法一：
∵四边形ABCD，AEFG均为正方形
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE
∴将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°，它们恰好分别与AB、AE重合．即点D与点B重合，点G与点E重合
∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合
∴BE=DG，且BE⊥DG．
证法二：
∵四边形ABCD、AEFG均为正方形
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE
∴∠DAB+α=∠GAE+α
∴∠DAG=∠BAE
①当α≠90°时，由前知△DAG≌△BAE（SAS）
∴BE=DG
∴∠ADG=∠ABE
设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°
∴∠ABE+∠BMN=90°
∴∠BND=90°
∴BE⊥DG
②当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，显然BE=DG，且BE⊥DG．
（2）解：当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，形成的图形是一个等腰梯形BDEG，通过观察比较可知，
当α=90°时，S有最大值，且S= ×3×2×2+ ×2×2+ ×3×3= ．
当S取得最大值时，α=90°．