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题目
题型:不详难度:来源:
如图,正方形ABCD的对角线相交于点O.点E是线段DO上一点,连接CE.点F是∠OCE的平分线上一点,且BF⊥CF与CO相交于点M.点G是线段CE上一点,且CO=CG.
(1)若OF=4,求FG的长;
(2)求证:BF=OG+CF.
答案
(1)∵CF平分∠OCE,
∴∠OCF=∠ECF.
∵OC=CG,CF=CF,
∵在△OCF和△GCF中,





OC=GC
∠OCF=∠ECF
CF=CF

∴△OCF≌△GCF(SAS).
∴FG=OF=4,
即FG的长为4.

(2)证明:在BF上截取BH=CF,连接OH.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD,∠DBC=45°,
∴∠BOC=90°,
∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°.
∴∠OCB=∠DBC.
∴OB=OC.
∵BF⊥CF,
∴∠BFC=90°.
∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB,
∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC,
且∠OMB=∠FMC,
∴∠OBH=∠OCF.
∵在△OBH和△OCF中





OB=OC
∠OBH=∠OCF
BH=CF

∴△OBH≌△OCF(SAS).
∴OH=OF,∠BOH=∠COF.
∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°,
∴∠COF+∠HOM=90°,即∠HOF=90°.
∴∠OHF=∠OFH=
1
2
(180°-∠HOF)=45°.
∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°.
∵△OCF≌△GCF,
∴∠GFC=∠OFC=135°,
∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°.
∴∠FGO=∠FOG=
1
2
(180°-∠OFG)=45°.
∴∠GOF=∠OFH,∠HOF=∠OFG.
∴OGFH,OHFG,
∴四边形OHFG是平行四边形.
∴OG=FH.
∵BF=FH+BH,
∴BF=OG+CF.
核心考点
试题【如图,正方形ABCD的对角线相交于点O.点E是线段DO上一点,连接CE.点F是∠OCE的平分线上一点,且BF⊥CF与CO相交于点M.点G是线段CE上一点,且CO】;主要考察你对正方形等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是BC、CD上的点,且△AEF是等边三角形,则BE的长为______.
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如图,正方形ABCD的边长为4,P为对角线AC上一点,且CP=3


2
,PE⊥PB交CD于点E,则PE=______.
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如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交ED于点P.若AE=AP=1,PB=


5
.则正方形ABCD的面积为______.
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▱ABCD中,O是对角线的交点,不能判定这个平行四边形是正方形的是(  )
A.∠BAD=90°,AB=ADB.∠BAD=90°,AC⊥BD
C.AC⊥BD,AC=BDD.AB=AC,∠BAD=∠BCD
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附加题:如图,已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以对角线BD为边作正三角形BDE,过E作DA的延长线的垂线EF,垂足为F.
(1)找出图中与EF相等的线段,并证明你的结论;
(2)求AF的长.
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