题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图有一直角∠A。
（1）用尺规作图作出∠A的角平分线，并在该角平分线上取一点C。（保留作图痕迹，不写作法，不证明。）
（2）用尺规作图作出（1）中得到的线段AC的中垂线、分别交∠A的两边于点B和点D。（保留作图痕迹，不写作法，不证明。）
（3）连结CB，CD。以AC平分∠BAD、BD垂直平分线段AC，以及Rt∠A作为已知条件，试判断四边形ABCD是否为正方形，并证明你的结论。

答案

（1）图略；
（2）图略；
（3）四边形ABCD是正方形；
证明如下：如图，
     ∵BD垂直平分线段AC
     ∴AD=CD，AB=CB 且BD⊥AC
     ∴∠AOB=∠AOD=90^。
  又∵AC平分∠BAD
     ∴∠BAO=∠DAO
   又∵AO是公共边
    ∴△AOB≌△AOD
    ∴AD=AB
    ∴AD=CD=AB=CB
    ∴四边形ABCD是菱形。
  又∵Rt∠A
    ∴四边形ABCD是正方形。