题目

题型：黑龙江省期中题难度：来源：

如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120^o，以D为顶点作一个60^o角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN。
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由。
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系

答案

解：如图：（1）MN=MB+NC。
理由如下：
∵DB=DC，∠BDC=120^。
∴将△DCN绕点D逆时针旋转120^o，使DC与DB重合，得，Rt△DBN"。
∵∠MDN=60^。
∴∠CDN+∠BDM =120^。-60^。=60^。，
∴∠MDN"=60^。=∠MDN，DC=DN"，DM=DM
∴△MDN≌△MDN"，
∴MN=MN"而NC=N"B，
∴MN=MB+NC。
（2）由（1）题得：MN=MB+NC， AB=AC=2
∴△AMN的周长=AM+MN+AN =AM+MB+NC+AN =AB+AC =4
（3）关系：MN=CN-BN
（提示：将Rt△DBN绕点D顺时针旋转120^o使DB与DC重合，则CM"=BN，可证：△NDM≌△NDM"）