题目

题型：专项题难度：来源：

已知∠MAN，AC平分∠MAN。
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中，
①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=______AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=______AC（用含α 的三角函数表示），并给出证明。

答案

解：（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
∴AB=AD=AC，
∴AB+AD=AC。（2）成立；
证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE，
由（1）知AF+AE=AC，
∴AB+AD=AC。（3）①；
②，
由（2）知，ED=BF，AE=AF，
在Rt△AFC中，，即，
∴，
∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE=2AF=AC。