题目
题型:江西省中考真题难度:来源:
问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:
①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN。
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN。
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN。
任务要求:
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)
②如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。
(1)我选
证明:
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答案
在图1中,∵∠BON=60°,
∴∠CBM+∠BCN=60°,
∵∠BCN+∠ACN=60°,
∴∠CBM=∠ACN,
又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°,
∴△BCM≌△CAN,
∴BM=CN,
选命题②,证明:在图2中,
∵∠BON=90°,
∴∠CBM+∠BCN=90°,
∵∠BCN+∠DCN=90°,
∴∠CBM=∠DCN,
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°,
∴△BCM≌△CDN,
∴BM=CN,
选命题③证明:在图3中,
∵∠BON=108°,
∴∠CBM+∠BCN=108°,
∵∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN,
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°,
∴△BCM≌△CDN,
∴BM=CN;
(2)①当∠BON=
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②BM=CN成立,
证明:如图5,连结BD、CE,
在△BCD和△CDE中,
∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE,
∴△BCD≌△CDE,
∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD,
∵∠OBC+∠OCB=108°,∠OCB+∠OCD=108°,
∴∠MBC=∠NCD,
又∵∠DBC=∠ECD=36°,
∴∠DBM=∠ECN,
∴△BDM≌△ECN。
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核心考点
试题【问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题: ①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60】;主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线,EF的延长线相交于点G,H时(如图乙),你在图甲中得到的结论还成立吗?简要说明理由。
(1)连结_______________;
(2)猜想:_______________;
(3)证明:_____________。(说明:写出证明过程中的重要依据)
说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明⑴的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。 ①画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;
②点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2)。
附加题:如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形状,并说明理由。
图1 图2 图3
(1)求图①中,∠APD的度数;
(2)图②中,∠APD的度数为___________,图③中,∠APD的度数为___________;
(2)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况,若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由。
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