题目

题型：专项题难度：来源：

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D。
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，则△POD与△PDG的面积之比为 _________ ；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，则OP的长为 _________ 。

答案

解：（1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90 °
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN
∴PC=PD

②∵PC=PD
∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°
∴∠PDG=∠POD
∵GPD=∠DPO
∴△POD∽△PDG
∴。

（2）①若PC与边OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO
∴△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=ED=OD=1
②若PC与边OA的反向延长线相交
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PED＞∠EDC
∴△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°
∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=
∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣
∵HC=HO+OC=+x
∴1﹣=+x
∴x=
即OP=