题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE。
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=（    ）度；
（2）设∠BAC=а，∠BCE=β。
①如图2，当点D在线段BC上移动，则а，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则а，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论。

答案

解：（1）90°。
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
（2）①а+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB
∴∠B+∠ACB=β，
∵а+∠B+∠ACB=180°，
∴а+β=180°；
②当点D在射线BC上时，а+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴а+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，а=β
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即а=β。