题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

答案

解：
（1）答：AE⊥GC；
证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中， AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°， DE=DG，
∴△ADE≌ △CDG，
∴∠1=∠2；
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°，
∴AE⊥GC．
答：成立；
证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中， AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°﹣∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°﹣∠DCE=180°﹣90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．