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题目
题型:四川省会考题难度:来源:
小明是个爱学习的孩子,他在一本数学课外读物上看到一道思考题:请将如图放置的边长为a的正方形ABCD和斜边为AE=2b(2b<a)的等腰直角三角形FAE剪两刀,重新拼成一个面积为a2+b2的正方形。他找来硬纸片和剪刀进行探索。先在BA上选取点G,使BG=b,连结CG,剪下△BCG并绕点C顺时针旋转90°到△CDH的位置,接下来的问题是:
(1)EH的长是多少?(用含a,b的式子表示)
(2)能否将△AGF剪下,绕点F旋转到△EHF的位置?(求证:△AGF≌△EHF)
(3)四边形GCHF是正方形吗?面积是否为a2+b2
请你与小明一起解答以上问题,并说明小明的探索是否成功?
答案
解:(1)∵AD=AB=a,DH=BG=b,AE=2b
∴EH=AD+DH―AE=a+b―2b=a―b;
(2)∵AG=AB―BG=a―b,EH=a―b
∴AG=EH
∵∠FAG=45°+90°=135°,∠FEH=180°-45°=135°
∴∠FAG=∠FEH
∵△AFE是等腰直角三角形
∴AF=FE
在△AGF和△EHF中
∴△AGF≌△EHF,即能将△AGF绕F旋转到△EHF的位置;
(3)
作FI⊥AD,垂足为I
∵△AFE是等腰直角三角形
∴FI是斜边上的中线
∴FI=IE=AE=·2b=b
∴IH=IE+EH=b+a-b=a
∴FI=DH=b,IH=DC=a
又∵∠FIH=HDC=90°
∴△FIH≌△HDC(SAS)
∴FH=HC①
∵△AGF≌△EHF,△BCG绕点C顺时针旋转90°到△CDH的位置
∴FG=FH②,GC=HC③
由①②③得FH=HC=CG=FG
∴四边形FHCG是菱形
又由△AGF≌△EHF得:∠1=∠2
∠1+∠GFE=∠2+∠GFE=Rt∠
∴四边形FHCG是正方形
在Rt△BCG中,根据勾股定理:GC2= BC2+BG2=a2+b2
∴正方形GCHF的面积= GC2= a2+b2
∴小明的探索能成功。
核心考点
试题【小明是个爱学习的孩子,他在一本数学课外读物上看到一道思考题:请将如图放置的边长为a的正方形ABCD和斜边为AE=2b(2b<a)的等腰直角三角形FAE剪两刀,重】;主要考察你对全等三角形的判定等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知:如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD,若∠D=25°,则∠B的度数为

[     ]

A.25°
B.30°
C.15°
D.30°或15°
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如图,要用“HL”判定Rt△三角形ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是

[     ]

A.AC=A′C′ ,BC=B′C′
B.∠A=∠A′ ,AB=A′B′
C.AC=A′C′ ,AB=A′B′
D.∠B=∠B′ ,BC=B′C′
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如图,AD⊥BC,D为BC的中点,则△ABD≌(    )。

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如图,若AB=DE,BE=CF,要证△ABF≌△DEC,需补充条件(    )或(    )。

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如图,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,图中全等三角形共有(    )对。
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