题目

题型：江苏期中题难度：来源：

将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B₁A₁C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A₁C交于点E，AC与A₁B₁交于点F，AB与A₁B₁交于点O。
（1）求证：△BCE≌△B₁CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直吗？请说明理由。

答案

解：（1）∵在△BCE和△B₁CF中，
∠B=∠B₁=60°，BC=B₁C，∠BCE=90°-∠A₁CA=∠B₁CF，
∴△BCE≌△B₁CF（ASA）；
（2）当∠A₁CA=30°时，AB⊥A₁B₁，
理由如下：
∵∠A₁CA=30°，
∴∠B₁CF=90°-30°=60°，
∴∠B₁FC=180°-∠B₁CF-∠B₁=180°-60°-60°=60°，
∴∠AFO=∠B₁FC=60°，
∵∠A=30°，
∴∠AOF=180°-∠A-∠AFO=180°-30°-60°=90°，
∴AB⊥A₁B₁。