题目

题型：竞赛题难度：来源：

如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．
（1）求证：PN=QN；
（2）求证：MN⊥BC．

答案

证明：（1）连接DN，
∵D为△ABC中线AM的中点，
∴AD=MD，MB=CM，
∵MP⊥AB，MQ⊥AC，
∴∠APM=∠AQM=90°，
∴△APM、△AMQ是直角三角形，
∴PD=AM，QD=AM，
∴PD=QD，
∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL），
∴NP=PQ；
（2）取BM、CM的中点S、T，
连接SP、SN、TQ、TN，
∴SP=BM=MC=TQ，
∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM
=90°﹣∠B﹣∠DPA
=90°﹣∠B﹣∠BAM
=90°﹣∠AMC
=90°﹣∠DMQ﹣∠QMT
=90°﹣∠DQM﹣∠MQT
=∠TQN，
∴△SPN≌△TQN，
∴SN=TN，
∵SM=TM，
∴NM⊥BC