题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30^。，∠E= 45^。，∠EDF=∠ACB=90^。 ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

答案

（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，
D是AB的中点．
∴BC=BD， ∠B=60°
∴△BCD是等边三角形．
又∵CN⊥DB，
∴
∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形．
∴∠ADG=30°，
而∠A=30°． ∴GA=GD．
 ∵GM⊥AB
∴
又∵AD=DB
 ∴AM=DN ；
（2）∵DF∥AC
∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，
∴∠ADG=60°．
∵∠B=60°，AD=DB，
∴△ADG≌△DBH
∴AG=DH，
又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，
∴△AMG≌△DNH．
∴AM=DN ．