题目
题型:福建省中考真题难度:来源:
探究(2):在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D、E、F。
①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1:OD+OE+OF=;结论2:AD+BE+CF=;
②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由。
答案
∴
∵
∴
∴
∴
同理:
∴为等边三角形
在中,
在中,
∴。
证明:如图,连接
由
作,垂足为H
则
∴
∴
∴。
结论2成立
证明:如图,过顶点依次作边的垂线围成
由(1)得为等边三角形且
过点O分别作于,于于点于点
由结论1得:
又∵
∴
∴四边形为矩形
∴
同理:
∴。
核心考点
试题【已知:等边△ABC的边长为a,探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且MN=;探】;主要考察你对等边三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
我们在解决数学问题时,经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题。
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转化为三角形,从而解决问题。
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法”,
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形。
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形。
(1)把一个正方形分割成9个小正方形,
一种方法:如图③,把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形。
另一种方法:如图④,把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形。
(2)把一个正方形分割成10个小正方形,
方法:如图⑤,把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分割成4+3×2=10(个)小正方形。
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法).
(4)把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形,
方法:通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,再在此基础上每使用1次“基本分割法1”,就可增加3个小正方形,从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形,依次类推,即可把一个正方形分割成n(n≥9)个小正方形.从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分割法,然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n≥9)个小正方形。
类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形。
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图);
(2)基本分割法2:把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图);
(3)分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法);
(4)请你写出把一个正三角形分割成n(n≥9)个小正三角形的分割方法(只写出分割方法,不用画图)。
(2)实验探究:设AD的长为m,若重叠三角形A′B′C′存在。试用含M的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积,并写出m的取值范围(直接写出结果);
解:(1)重叠三角形A′B′C′的面积为_______________;
(2)用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积为_______________;m的取值范围为__________。
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