题目

题型：山东省期中题难度：来源：

如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ADC=∠CEB=90°
（1）连接DE、M、N分别是AC、BC上一点，且∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，探索DM、DE、EN之间的数量关系，并说明理由．
（2）延长AD、BE交于F点，连接DE，CG⊥DE于G点，连接CF，CF与DE相交于O点，OC=OE，延长GC到H点，使得CH=CF，探索BF、BH的关系，并说明理由．

答案

（1）解：DM+EN=DE，理由是：
∵等腰直角△ADC和△BEC，
∴∠DCA=45°，∠BCE=45°，
∴∠DCE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠CDE+∠CED=180°﹣90°，
∵∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，
∴∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠NEC=2×90°=180°，
∴DM∥EN，
取DE的中点Q，连接CQ，
∵∠DCE=90°，
∴CQ=QE=DQ，
∴∠QCE=∠QEC=∠NEC，
∴CQ∥EN，同理CQ∥DM，即DM∥CQ∥EN，
∵Q是DE的中点，
∴MC=CN，
∴CQ=（DM+EN），
∵CQ=QD=QE=DE，
∴DM+EN=DE；
（2）解：BF=BH，BF⊥BH，理由是：
由（1）证得：∠DCE=90°，
∵∠DCE=90°，CG⊥DE，
∴∠DCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠GEC=90°，
∴∠DCG=∠GEC，
∵CO=OE，
∴∠GEC=∠ECO，
∴∠GCD=∠ECO，
∵的三角形△ACD和△BEC，
∴∠DCA=∠ECB=45°，
∴∠GCD+∠DCA=∠OCE+∠ECB，即∠GCA=∠FCB，
∵∠GCA=∠BCH，
∴∠BCH=∠FCB，
在△FBC和△HBC中，
∴△FBC≌△HBC，
∴BF=BH，∠FBC=∠HBC=45°，
∴∠FBH=45°+45°=90°，
∴FB⊥BH．